Question

已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2an+n,且bn=An－1/AnAn+1，求证an－1为等比数列

Answer 1

∵Sn,an,-n成等差数列，
∴S(n)-n=2a(n)，S(n-1)-(n-1)=2a(n-1)，S(n 1)-(n 1)=2a(n 1)
即：S(n)=2a(n) n，S(n-1)=2a(n-1) (n-1)，S(n 1)=2a(n 1) (n 1)
又∵S(n-1)=S(n)-a(n)=a(n) n，S(n 1)=S(n) a(n 1)=2a(n) n a(n 1)
∴2a(n-1) (n-1)=a(n) n，2a(n 1) (n 1)=2a(n) n a(n 1)
即：2a(n-1)-2=a(n)-1，a(n 1)-1=2a(n)-2
∵[a(n)-1]/[a(n-1)-1] = [a(n 1)-1]/[a(n)-1] = 2
∴{a(n)-1}是等比数列.

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Answer 2

∵Sn,an,-n成等差数列，
∴S(n)-n=2a(n)，S(n-1)-(n-1)=2a(n-1)，S(n 1)-(n 1)=2a(n 1)
即：S(n)=2a(n) n，S(n-1)=2a(n-1) (n-1)，S(n 1)=2a(n 1) (n 1)
又∵S(n-1)=S(n)-a(n)=a(n) n，S(n 1)=S(n) a(n 1)=2a(n) n a(n 1)
∴2a(n-1) (n-1)=a(n) n，2a(n 1) (n 1)=2a(n) n a(n 1)
即：2a(n-1)-2=a(n)-1，a(n 1)-1=2a(n)-2
∵[a(n)-1]/[a(n-1)-1] = [a(n 1)-1]/[a(n)-1] = 2
∴{a(n)-1}是等比数列.