Question

如图，三角形ABC内接于圆O,角BAC等于60°，点D是弧BC的中点，BC,AB边上的高AE,CF相交于点H

试证明：（1）∠FAH=∠CAO;(2)四边形AHDO是菱形。

Answer 1

∠ABC＝(1/2)∠AOC＝(1/2)(180-2*∠OAC)＝90－∠OAC
∠OAC＝90－∠ABC＝∠FAH

2
∠BAC＝60°
AF＝(1/2)AC
过O做AC垂线OG交AC于G
由垂径定理，AG＝(1/2)AC
AG＝AF
∠FAH=∠CAO
所以AO＝AH＝OD
OD⊥BC
AH⊥BC
所以AH平行且相等于OD
AO＝AH
所以四边形AHDO是菱形

Answer 2

(1)过O作OM⊥AC，由已知得AM=AC/2=AF，又∠AOM=∠ABC=∠AHF
∴RT△AMO≌Rt△AFH∴∠FAH=∠CAO
∴AO=AH 又OD=OA
∴AO=AH=OD
∴AE⊥BC OD⊥BC
∴AE//OD
∴四边形OAHD为平行四边形 又AO=AH
∴四边形AHDO是菱形