Question

微分方程dy/dx=y^2-x^2+1的解。

RT，要详细过程。谢谢

Answer 1

郭敦顒回答：
dy/dx=y^2-x^2+1
∫dy=∫y^2 dx－∫（x^2－1）dx，
y =∫y²dx－（1/3）x³+x，
∫y²dx=（1/3）x³－x+ y，

对于∫y²dx本人尚首次遇到，现讨论如下：
从∫y²dx中之y²dx看，应有dy/dx=y²，两边乘以dx得，dy=y²dx
∴（1/y²）dy=dx
∴∫（1/y²）dy=∫dx
x =（1/2）lny ²，（1/2）lny ²=ln|y|
∴dx= dln|y|
∫dx=∫dln|y|
∴x=1/ y，∫y²dx=∫y²d（1/ y），令t=1/ y，y=1/t，y²=1/t²，dt= d1/ y
∴∫y²dx=y²d（1/ y）=∫（1/t²）dt=ln|t|=ln|1/y|
∴∫y²dx=ln|1/y|
∴ln|1/y| =（1/3）x³－x+ y
∴ln|1/ y|－y=（1/3）x³－x+C