Question

求解高一三道有关三角函数的题。在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a^2=b(b+c),则A-2B=

1、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a^2=b(b+c),则A-2B=
2、△ABC，(cosA+2cosC) / (cosA+2cosB)=b/c,则三角形的形状是
3、△ABC，sin^2A+sin^2B=1，最大边c=12，则△ABC的面积最大值为

Answer 1

1、a²=b(b+c)
a²=b²+bc
a²=b²+c²-2bccosA
=b²+bc
c²-2bccosA=bc
c(c-2bcosA)=bc
c-2bcosA=b
sinC-2sinBcosA
=sin(A+B)-2sinBcosA
=sin(A-B)=sinB,
得B=A-B,得A-2B=0.

3、sin^2A+sin^2B=1
sin²A+sin²B=1
sin²A+cos²A=1
⊿ABC是以∠C为90°的直角三角形。
设面积最大值时，sinA为∠A的sin值，则。
12sinA+12cosA
=12(sinA+cosA)
=12√2(√2/2sinA+√2/2cosA)
sinA=√2/2
面积最大为12√2。

2、直角或等腰三角形。
解：(cosA+2cosC) / (cosA+2cosB)=b/c
(cosA+2cosC) / (cosA+2cosB)=sinB/sinC

方法一：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC，
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
∴cosA（sinC－sinB）＝sin2B－sin2C＝2sin（B－C）cos（B＋C）＝－2sin（B－C）cosA

一、当cosA＝0时，A＝90°，此时三角形是直角三角形。

二、当cosA≠0时，两边同除以cosA，得：sinB－sinC＝2sin（B－C）
∴2sin［（B－C）/2］cos［（B＋C）/2］＝4sin［（B－C）/2］cos［（B－C）/2］
∴2sin［（B－C）/2］｛cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］｝＝0
∴sin［（B－C）/2］＝0，或cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0。

1、由sin［（B－C）/2］＝0，得：B＝C。

2、由cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0，得：
－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0。
显然，B/2、C/2都是锐角，∴sin（B/2）＞0，sin（C/2）＞0，cos（B/2）＞0，cos（C/2）＞0
∴－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0是不可能的。

综合1、2所述，得：B＝C，∴此时三角形是等腰三角形。

由一、二所述，得：满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形。

方法二：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC，
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
由余弦定理、正弦定理，容易得到：
［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］c＋2［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］c
＝［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］b＋2［（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）］b
去分母，得：
ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2＋b^2－c^2）
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2＋c^2－b^2）
∴ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2－b^2－c^2）＋4b^2c^2
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2－c^2－b^2）＋4b^2c^2
∴（b^2＋c^2－a^2）（ac－2c^2－ab＋2b^2）＝0
∴b^2＋c^2－a^2＝0，或ac－2c^2－ab＋2b^2＝0。

一、由b^2＋c^2－a^2＝0，得：此时的三角形是直角三角形。［勾股定理的逆定理］
二、由ac－2c^2－ab＋2b^2＝0，得：（ac－ab）＋2（c^2－b^2）＝0，
∴a（c－b）＋2（c＋b）（c－b）＝0，∴（c－b）（a＋2c＋2b）＝0。
显然，a＋2c＋2b＞0，∴c－b＝0，得：c＝b，∴此时的三角形是等腰三角形。

综合一、二，得满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形。

Answer 2

由a^2=b^2+c^2-2bccosA和条件得bc=c^2-2bccosA,把c约分得b=c-2bcosA,再边化角得sinB=sinC-2sinBcosA=sin(B+A)-2sinBsinA=sin(A-B),得B=A-B,得A-2B=0.