Question

数学 2013南通一模第13题

设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小?

答案是9，为什么？

Answer 1

x1x2+x3x4 ≥ 2√（729/x5） 即取定一个x5后，x1x2,x3x4不会都小于 √（729/x5）
x2x3+x4x5 ≥ 2√（792/x1）
√（729/x5）+√（792/x1）≥2√（729*729/x5x1）
使三个不等式等号都成立则
x1x2=x3x4=√（729/x5）
x2x3=x4x5=√（729/x1）
x1=x5
即x1=x3=x5 ,x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5
所以729=x1^3 *x2^2=(x1x2)^3/x2
(x1x2)^3=729*x2
x2最小为1
所以x1x2最小值为9
此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1

Answer 2

729位数只和为：
7+2+9=18，为3的倍数，因此这个数可以被3整除，即：
729
=3X243（同理）
=3X3X81
=3X3X3X27
=3X3X3X3X9（现在刚好为5个数之积。因为限制着乘数的个数，其中任一个数的拆分，必然导致其他两个数相乘，如=2X1.5X9X3X9。而现在9是最小乘数，欲使两数之积最小，则另一乘数就应该为1）则：
=3X3X9X1X9（排列组合，同理继续拆解）
=9X1X9X1X9

Answer 3

记M=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}
则x1x2<=M,x2x3<=M,x3x4<=M,x4x5<=M,
则x1(x2x3x4)^2x5<=M^4,
又x1•x2•x3•x4•x5=729，
所以M^4>=729x2x3x4=729^2/x1x5,(1)
又x1<=M,x5<=M,
所以x1x5<=M^2,(2)
由（1）和（2）式，可得M^4>=729^2/M^2，即M^6>=729^2=9^6,
所以M>=9
此时x1=x3=x5=9, x2=x4=1

Answer 4

记m=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}
0<x1x2<=m
0<x3x4<=m
则x1x2x3x4<=m^2
即[(x1x2x3x4x5)/x5]<=m^2
(729/x5)<=m^2
(729/m^2)<=x5<=m,(由x4x5<=m,x4>=1可得）
所以m^3>=729
m>=9