Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA= 23，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD
因为AB是圆O的直径
所以角ADB=90度
因为角ADB+角CBD+角BAD=180度
所以角CBD+角BAD=90度
因为OA=OD
所以角ODA=角BAD
所以角CBD+角ODA=90度
因为CDA=角CBD
所以角CDA+角ODA=角ODC=90度
因为OD是圆的半径
所以CD是圆O的切线
（2）题有问题，若是tan角CDA=2/3，结论可解
解：因为BE是圆O的切线
所以角CBE=90度
由勾股定理得：
CE^2=BC^2+BE^2
因为CD是圆O的切磋
所以BE=DE
因为角CDA=角CBD
因为角C=角C
所以三角形CDA和三角形CBD相似（AA)
所以AD/BD=DC/BC
因为tan角CBD=AD/BD
tan角CDA=2/3
所以AD/BD=1/3
所以DC/BC=2/3
因为BC=6
所以CD=4
所以(4+BE)^2=BE^2+6^2
BE=2.5

Answer 2

连接OD

∵AB是直径

∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=90°

∵∠CDA=∠CBD

OD=OB即∠BDO=-∠DBO=∠CBD

∴∠CAD=∠BDO

∴∠ADO+∠CDA=90°

即∠CDO=90°

：CD是⊙O的切线

Answer 3

（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=23，
∴tan∠OEB=OBBE=23，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴CDCB=ODBE=OBBE=23，
∴CD=23�6�16=4，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+4）2=x2+62，
解得x=52．
即BE的长为52．

Answer 4

最后是4分之15

Answer 5

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