Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N*.令bn=an+1-an,证明{bn}是等比数列；求{an}的通项公式

高中必修五数学

Answer 1

 

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Answer 2

(1)a(n+2)=(an+a(n+1))/2
a(n+2)-a(n+1)=(an+a(n+1))/2-a(n+1)=-1/2(a(n+1)-an)
即b(n+1)=-1/2bn
所以{bn}为等比数列
(2)b1=a2-a1=1
所以bn=(-1/2)^(n-1)
a(n+1)=an+(-1/2)^(n-1)
an=a(n-1)+(-1/2)^(n-2)
……
a3=a2+(-1/2)
a2=a1+1
用累加法，得an=a1+1+(-1/2)+(-1/2)^2+...+(-1/2)^(n-2)
=1+[1-(-1/2)^(n-1)]/[1-(-1/2)]=5/3-2/3(-1/2)^(n-1)

Answer 3

∵a(n+2)=[an+a(n+1)]/2∴2a(n+2)=an+a(n+1)∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an+a(n+1)-2a(n+1)∴2[a(n+2)-a(n+1)]=-[a(n+1)-an]∵bn=a(n+1)-an∴2b(n+1)=-bn∴b(n+1)/bn=-1/2∵a1=1，a2=2∴b1=a2-a1=1∴{bn}是以1为首项，公比为-1/2的等比数列∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)∴a2-a1=1a3-a2=-1/2…………∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)累加：an-a1=1+(-1/2)+……+(-1/2)^(n-2)∴an=1+2/3×{1-[-1/2^(n-1)]},n∈N*