Question

如图 矩形ABCD中 AB=6 BC=2√3 点O是AB的中点 点P在AB的延长线上 且BP=3 一动点E从O点出发

如图 矩形ABCD中，AB=6， BC=2根号3， 点O是AB的中点，点P在AB的延长线上， 且BP=3 。一动点E从O点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动 ，到达A点后立即以原速度沿AO返回； 另一动点F从P出发， 以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动 点E、F同时出发。 当两点相遇时停止运动， 在点E、F的运动过程中， 以EF为边作等边三角形EFG， 使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧 。设运动时间为t秒 1.当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t
2.当等边△EFG的店G恰好在线段AC上时，求运动时间t
3.设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 倍根号3，tan∠CFB= BC/BF，即tan60= 2倍根号3/BF，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
当1≤t＜3时，S=- (根号3/2)t2+3 倍根号3t+ (7倍根号3)/2；
当3≤t＜4时，S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
当4≤t＜6时，S= 根号3t2-12倍根号 3t+36倍根号 3；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= BCAB= 根号3/3，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= 1/2AH= 3/2，
在Rt△AME中，cos∠MAE═ AM/AE，即cos30°= (3/2)/AE，
∴AE= 根号3，即3-t=根号 3或t-3= 根号3，
∴t=3- 根号3或t=3+根号 3，

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；

3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，
∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 根号3或t=3+ 根号3或t=2或t=2或t=0．

Answer 2

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 倍根号3，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
当1≤t＜3时，S=- (根号3/2)t2+3 倍根号3t+ (7倍根号3)/2；
当3≤t＜4时，S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
当4≤t＜6时，S= 根号3t2-12倍根号 3t+36倍根号 3；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= BCAB= 根号3/3，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）当AH=AO=3时，过点E作EM⊥AH于M，则AM= 1/2AH= 3/2，
在Rt△AME中，cos∠MAE═ AM/AE，即cos30°= (3/2)/AE，
∴AE= 根号3，即3-t=根号 3或t-3= 根号3，
∴t=3- 根号3或t=3+根号 3，

2）当HA=HO时，则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；

3）当OH=OA时，，则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，
∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍）或t=0；

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 根号3或t=3+ 根号3或t=2或t=4或t=0．