Question

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把（-2，5）代入二次函数y=x^2+bx-3得：5=4-2b-3，
∴b=-2，
y=x^2-2x-3=（x-1）^2-4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=-4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0，
答：b的值是-2，当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y=x^2-2x-3=（x-1）^2-4得：
∴y1=（m-1）^2-4，y2=（m+1-1）^2-4，y3=（m+2-1）^2-4，
∴y1+y2-y3=（m-1）^2-4+（m+1-1）^2-4-[（m+2-1）^2-4]=（m-2）^2-8，
∵m≥5，
∴（m-2）^2-8＞0，
∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．

Answer 2

（1）解：把（-2，5）代入二次函数y=x2+bx-3得：5=4-2b-3，
∴b=-2，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=-4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0，
答：b的值是-2，当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0．

（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．

②理由是：（m-1）2-4+（m+1-1）2-4-[（m+2-1）2-4]=（m-2）2，
∵m≥5，
∴（m-2）2＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长