Question

用分析法证明：若a大于0，则根号下a的平方加a的平方分之一减根号2大于等于a加a分之一减二

Answer 1

a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2。设a+1/a=x。需证:根号下(x^2-2)-根号2>=x-2。(x>=2均值定理)。整理的x^2-2>=x^2+2(根号2-2)x+6-4根号2。再次整理得:x>=2。所以恒成立。

Answer 2

令x=a+1/a
则x²=a²+1/a²+2
所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2
即证明√(x²-2)+2>=x+√2
即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²
即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2
即证明4√(x²-2)>=2√2x
即证明2√(x²-2)>=√2x
即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²
即证明4x²-8>=2x²
即证明x²>=4

因为a>0
所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
所以x²>=4成立
倒推回去
有√(a²+1/a²)-√2>=(a+1/a)-2

参考回答：http://zhidao.baidu.com/question/143582697.html