Question

在正4n+2边形的顶点中任取四个点为顶点的凸边形是梯形有几个?

Answer 1

解：在正4n+2，首先选择相邻的两点作为一边，与他平行的另外两点连线为 2n，但是还有两个点与他做成的是长方形，所以做成的加上2n-1个梯形，和这条边平行且相邻的边，与另外2n-1条边平行，出去一条对称是长方形外，与另外的2n-2条做成梯形，
所以在这个平行方向 一共有，2n-1，2n-2，2n-3，....，1
这个方向有 （2n-1)*(2n-1+1)/2=n ( 2n-1)
最中间的那一条不存在对称线，所以这一条对应的不需要减1，所以
所以，这个方向n ( 2n-1) +1
一共 4n+2，有4n+2个边，在算梯形是，与选定边平行的边，以及相互平行的线做成的梯形这一本条边做参考是都已经计算一遍了，所以在计算对边的时候就不用在计算。
所以虽然有 4n+2个边，但是互不平行的边只有 2n+1条。
所以能做成的梯形是 [n( 2n-1)+1]（2n+1）
比如正6边形，能组成的梯形=6。
正六边形相当于n=1是，[n( 2n-1)+1]（2n+1）=[1*(2*1-1)+1] *(2+1) =6