Question

已知函数f(x) =alnx+1/x-1(a≠0)在(0,1/2)内有极值

（2）若x1∈(0,1/2),x2 ∈(2,+∞)，且a∈[1/2,2)时，求证:f(x2)-f(x1)≥ln2+3/4
函数是f(x)=alnx+1/(x-1)

Answer 1

f(x)=alnx+1/(x-1)，
(2)f(x2)-f(x1)=alnx2+1/(x2-1)-[alnx1+1/(x1-1)]
=a(lnx2-lnx1)+1/(x2-1)+1/(1-x1),
x1∈(0,1/2),x2 ∈(2,+∞)，
∴lnx2-lnx1>ln2-ln(1/2)=2ln2,
1/(x2-1)>0,1/(1-x1)>1,
a∈[1/2,2),
∴f(x2)-f(x1)>ln2+1>ln2+3/4.

追问

第二个证明大于3/4的没看懂

Answer 2

（2）f′(x)=ax2-(2a+1)x+ax(x-1)2，设ax2-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，则α+β=2+1αα•β=1，得0＜α＜12＜2＜β．由此入手能够证明f（x1）-f（x2）≥ln2+34．

（2）f′(x)=ax2-(2a+1)x+ax(x-1)2，
设ax2-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，
则α+β=2+1αα•β=1，得0＜α＜12＜2＜β．
当x∈（0，α）和（β，+∞）时，f′(x)=ax2-(2a+1)x+ax(x-1)2＞0，
函数f（x）单调递增；
当x∈(α，12)和（2，β）时，f′(x)=ax2-(2a+1)x+ax(x-1)2＜0，
函数f（x）单调递减，
则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），
则f（x2）-f（x1）≥f（β）-f（α）=alnβ+1β-1-alnα-1α-1
=alnβα+α-βαβ-(α+β)+1
=α[lnβ2+β-1β]（利用α+β=2+1α，α•β=1）
令h(x)=lnx2+x-1x，x＞2
则h′(x)=(x+1)2x2＞0，
则函数h（x）单调递增，
h（x）≥h（2）=2ln2+32，
∴lnβ2+β-1β≥2ln2+32＞0，
∵a∈[12，2)，
则a[lnβ2+β-1β]≥ln2+34，
∴f（x1）-f（x2）≥ln2+34．

追问

可以吧分数线写出来吗？看不懂了

Answer 3

那如果要求a的取值范围呢？