Question

AB是圆O的直径, AM和BN是它的两条切线,DE切圆O于点E.交AM于点D,交BN于点C

如图,AB是圆O的直径, AM和BN是它的两条切线,DE切圆O于点E.交AM于点D,交BN于点C 1.求证OD平行BE
2.如果OD=6cm.OC=8cm, 求CD的长

Answer 1

1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，
DA=DE。∠OAD=∠OED=90°OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD=1／2∠AOE，
∵∠ABE=1／2∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE；
2)∵ AB是圆O的直径，AM和BN是它的两条切线，
∴ AM垂直于AB，BN垂直于AB
∴ AM//BN
∠ADC+∠BCD=180°

连结OE

∵OB与OE是半径
∴OB=OE
又BC，CE是圆的切线
所以∠OBC=∠OEC=90°
OC为△OBC与△OEC的公共边
∴△OBC≌△OEC
∴OC平分∠BCE，同理OD平分∠ADE
∴∠ODE+OCE=1/2(∠ADC+∠BCD)=90°
勾股定理：CD=√6^2+8^2=10

Answer 2

1）连OE,
因为AM，CD是圆的切线
所以DA=DE,∠OAD=∠OED,
又OA=OE
所以△OAD≌△OED
所以∠AOD=∠EOD
同理∠COE=∠BOC,
因为∠AOD+∠EOD+∠COE+∠COB=180
所以∠DOE+∠COE=(∠AOD+∠EOD+∠COE+∠COB)/2=90
即∠COD=90
所以OD⊥OC
因为CE,CB是圆的切线
所以BE⊥OC,
所以OD∥BE
2)在直角三角形COD中，由勾股定理，得，
CD²=OC²+OD²=36+64=100
解得CD=10