Question

初三相似数学证明题，求解

如图，在RT△ABC中，∠ABC=90，CD⊥AB于D，想一想
（1）图中有哪两个三角形相似？
（2）求证：AC²=AD·AB；BC²=BD·BA；CD²=AD·BD
（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD
（4）若AC=9，DB=6,求AD,CD,BC
（5）求证AC·BC=AB·CD

Answer 1

解：题目中应为“在RT△ABC中，∠ACB=90°”
（1）根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△ABC∽△BCD
（2）
∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD/AC =AC/AB ，
∴AC²=AD·AB；
同理可证明：BC²=BD·BA；CD²=AD·BD

（3）
∵AD=2，DB=8，
∴AB=AD+DB=10，
由（2）知，AC²=AD·AB，
∴AC= √（AD•AB）=√（2×10）=2√5，
在Rt△ABC中，BC=√（AB²- AC²）=4√5，
在Rt△ACD中，CD=√ AC²- AD²=4
（4）
∵AC=9，DB=6；AC²=AD·AB=（AB-BD）·AB
∴9²=（AB-6）·AB
解方程，得：AB=3+3√10
在Rt△ABC中，BC=√（AB²- AC²）=3√（2+2√10）
（5）
∵RT△ABC的面积= AC·BC/2=AB·CD/2
∴AC·BC=AB·CD

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Answer 2

应是∠ACB=90°

(1)△ABC∽△BCD △ABC∽△ACD △BCD∽△ACD
(2)∵△ABC∽△ACD ∴AC/AD=AB/AC ∴AC^2=AD*AB
同样 ∵△ABC∽△BCD ∴BC/BD=AB/BC ∴BC^2=BD*AB

∵△BCD∽△ACD ∴CD/BD=AD/CD ∴CD²=AD·BD

(3)AD=2，DB=8 ∴CD=√(2*8)=4 AC=√(2^2+4^2)=2√5 BC=√(8^2+4^2)=4√5
(4)AC=9，DB=6 9^2=AD(AD+8) AD^2+8AD-81=0 解之得：AD=-4+2*√6
CD=√(AD*DB)=√[(-4+2*√6)6]=
(5)S△ABC=AC*BC/2=AB*CD/2，则 AC*BC=AB*CD

Answer 3

解：(1)Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD(两角对应相等，两三角形相似)
(2)Rt△ABC∽Rt△ACD，得 AC/AD=AB/AC ∴ AC²=AD·AB
同理，得 BC²=BD·BA；CD²=AD·BD
(3)CD²=AD·BD，AD=2，DB=8，得 CD=4 AB=AD+BD=10
AC²=AD·AB，得 AC=2根号5 同理，得 BC=4根号5
(4)AC²=AD·AB=AD*(AD+BD)，AC=9，DB=6，得 AD=3根号10-3
则 AB=AD+BD=3根号10+3 由BC²=BD*BA，得 BC=
同理计算CD
(5)面积S△ABC=AC*BC/2=AB*CD/2，则 AC*BC=AB*CD

Answer 4

(1)

△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△ACB∽△CDB；

（2）

∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD/AC=AC/AB，
∴AC²=AD•AB；

同理可证：BC²=BD·BA；CD²=AD·BD

（3））

∵AD=2，DB=8，
∴AB=AD+DB=10，
由（2）知，AC²=AD•AB，

Answer 5

题目中已知条件有错误，从上下内容及对比附图判断首行“∠ABC=90° ”应为∠ACB=90°；
（1）图中共有三个RT△，都相似，即 △ABC∽△CAD∽△CBD；
（2）由 △ABC∽△CAD。AD/AC=AC/AB，∴ AC²=AD•AB；
由△ABC∽△CBD可得，BC/BA=BD/BC，∴ BC²=BD•BA；
由△CAD∽△CBD可得，CD/BD=AD/CD，∴ CD²=AD•BD；
（3）AB=AD+BD=2+8=10，由（2）得： AC=√√(AD•AB)=√(2•10)=2√5；
BC=√(BD•BA)=√(8•10)=4√5；CD=√(AD•BD)=√(2•8)=4；
（4）由（2），AC²=AD•AB=(AB-DB)•AB=AB²-AB•DB；代入数据整理：AB²-6•AB-9²=0；
解二次方程得 AB=3+3√10（负根舍去）；∴ AD=AB-DB=3√10-3；
CD=√(AD•DB)=√[(3√10-3)•6]=3√(2√10-2)；
BC=√(DB•BA)=√[6•(3+3√10)]=3√(2+2√10)；
（5）△ABC的面积=AB•CD÷2=AC•BC÷2，∴ AC•BC=AB•CD；

Answer 6

(1)三角形CDB相似于ACB
三角形CDB相似于ADC
三角形ACB相似于ADC
（2） 三角形CDB相似于ACB 得 BC²=BD·BA
三角形CDB相似于ADC 得CD²=AD·BD
三角形ACB相似于ADC 得AC²=AD·AB；
(3)CD²=AD·BD 得CD=4
由勾股定理 AD=2 CD=4 得AC＝　2倍根号5
由勾股定理 BD=8 CD=4 得AC＝　4倍根号5
(4)用AC²=AD·AB列一元二次方程，得AD的值
同理可以得出其它的值，就是解一元二次方程而已
（5）用面积可以证明

Answer 7

1)ADC&BCD ADC&ABC BCD&ABC
2)由ADC与ABC相似，AC:AD=AB:AC,化简得AC*AC=AD*AB
3)将AD=2，BD=8带入（2）关系式，可得AC=2倍根号5，BC=4倍根号5，CD=4
4)将AC=9，BD=6带入（2）关系式，不太好算……你自己算吧
5)三角形ABC面积=1/2*AB*CD=1/2*AC*BC,则AC*BC=AB*CD