Question

已知a、b、c、为互不相等的实数求证a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)

Answer 1

主要是利用均值不等式

 

a^4+b^4≥2a²b² 

a^4+c^4≥2a²c² 

b^4+c^4≥2b²c² 

三个式子相加得

a^4+b^4+c^4≥a²b²+a²c²+b²c² 

 

a²b²+a²c²≥2a²bc 

a²c²+b²c²≥2c²ab 

a²b²+b²c²≥2b²ac 

三个式子相加得

2(a²b²+a²c²+b²c²)≥2abc(a+b+c)

a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)

 

a^4+b^4+c^4≥a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)

 

 

Answer 2

主要是利用均值不等式
a^4+b^4≥2a²b²
a^4+c^4≥2a²c²
b^4+c^4≥2b²c²
三个式子相加得
a^4+b^4+c^4≥a²b²+a²c²+b²c²
a²b²+a²c²≥2a²bc
a²c²+b²c²≥2c²ab
a²b²+b²c²≥2b²ac
三个式子相加得
2(a²b²+a²c²+b²c²)≥2abc(a+b+c)
a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)
a^4+b^4+c^4≥a²b²+a²c²+b²c²≥abc(a+b+c)