Question

已知曲线y=fx过点0,1\2,且其上任一点(x，y)处的切线的斜率为xln（1+x^2），求fx

Answer 1

答：
即f'(x)=xln(1+x²)
所以f(x)=∫xln(1+x²)dx
=x²ln(1+x²)/2-∫x³/(1+x²)dx
=x²ln(1+x²)/2-∫(x³+x-x)/(1+x²)dx
=x²ln(1+x²)/2-∫x-x/(1+x²) dx
=x²ln(1+x²)/2-x²/2+ln(1+x²)/2 + C
=(x²+1)ln(1+x²)/2-x²/2 + C
因为y=f(x)过(0,1/2)
所以1/2=(0+1)ln(1+0)/2-0/2+C，即C=1/2
所以f(x)=(1+x²)ln(1+x²)/2+(1-x²)/2

Answer 2

下面的解法是对的。就是用分部积分法的解法。

Answer 3

f(x)=∫xln(1+x^2)dx
=1/2∫ln(1+x^2)d(1+x^2)
=1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1]+c
(c为积分常数)
f(x)过点(0,-1/2),
以此点代入上式得,c=0.
∴f(x)=1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1].
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