Question

数学问题，导数，中值定理

13.14题，写下过程，谢谢~^_^~

Answer 1

y=(x-1)/(x^2+1),
求一次导数
y'=(x^2+1-2x(x-1))/(x^2+1)^2=(-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2
求二次导数
y''=[(-2x+2)(x^2+1)^2-(-x^2+2x+1)(2(x^2+1)*2x]/(x^2+1)^4
=[(2-2x)(x^2+1)-4x(-x^2+2x+1)]/(x^2+1)^3=(2x^2+2-2x^3-2x+4x^3-8x^2-4x}/(x^2+1)^3
=[2x^3-6x^2-6x+2)/(x^2+1)^3=2[(x+1)(x^2-x+1)-3x(x+1)]/(x^2+1)^3
=[2(x+1)(x^2-4x+1)]/(x^2+1)^3
令y''=0, 解得
x1=-1,
x2=2+根号3，
x3=2-根号3 ，
对应的y坐标为
y1=-1,
y2=(1+根号3)/4(2+根号3)=(根号3-1)/4,
y3=(1-根号3）/4(2-根号3)=(-根号3-1)/4
(y2-y1)/(x2-x1)=[(根号3+3)/4]/[3+根号3]=1/4,
(y3-y1)/(x3-x1)=[(-根号3+3)/4]/[3-根号3]=1/4
所以 曲线y=(x-1)/(x^2+1)有三个拐点，且这三个拐点位于同一直线上

14
设f(x)=x^p+(1-x)^p,0≤x≤1,p>1,
则f'(x)=p[x^(p-1)-(1-x)^(p-1)],
0≤x<1/2时
x<1-x,
x^(p-1)<(1-x)^(p-1),
f'(x)<0,
同理，1/2<x≤1时f'(x)>0,
∴f(x)|min=f(1/2)=1/2^(p-1),
f(0)=1,f(1)=1,
∴f(x)|max=1,
∴原不等式成立。

Answer 2

13我给你提供方法  。对y求一阶导和二阶导，然后令二阶导等于0，可以解除x的值，（应该会有3个值）记为横坐标，然后把值带入y求纵坐标，再看这三个点是否共线（两两组成向量，看是否对应成比例）。我没用算  你自己算算