Question

已知a b c 属于R+，a+b+c=1,求证a方+b方+c方大于等于三分之一

Answer 1

已知a b c 属于R+，a+b+c=1,求证a²+b²+c²≧1/3

证明：设a=t₁+(1/3)；b=t₂+(1/3)；c=t₃+(1/3)；其中t₁+t₂+t₃=0；
于是a²+b²+c²=[t₁+(1/3)]²+[t₂+(1/3)]²+[t₃+(1/3)]²
=t²₁+t²₂+t²₃+(2/3)(t₁+t₂+t₃)+3×(1/9)
=t²₁+t²₂+t²₃+1/3≧1/3；当且仅仅当 t₁=t₂=t₃=0时等号成立；
故证。

Answer 2

1=(a＋b＋c)²=a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)
另外：ab＋bc＋ca≤a²＋b²＋c²
则：a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)≤3(a²＋b²＋c²)
即：3(a²＋b²＋c²)≥(a＋b＋c)²=1
则：a²＋b²＋c²≥1/3

Answer 3

证：
柯西——许瓦兹不等式
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1
证毕

Answer 4

a�0�5+b�0�5+c�0�5>=(a+b+c)�0�5/3

Answer 5

均值不等式，a+b+c/3≤根号(a^2+b^2+c^2/3)