求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,……的通项公式,并求其前n项和。

匿名用户
2013-03-29
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这是在网上找的,希望可以帮到你~记该数列为{a<sub>n</sub>},则an是一个和式,把它的各项看作另一个数列{b<sub>k</sub>}的项{b<sub>k</sub>}是有n项的等差数列观察各组首项的规律:1,3,7,13,…用逐差法不难得首项通项为:n^2-n+1所以,an= (n^2-n+1)+( n^2-n+3)+…+[n^2-n+(2n-1)]=n^3所以,Sn即是求1到n的立方和求1到n的立方和,下面是网上载的推导过程以及推导结果:n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+4...+n)^2 =[n(n+1)/2]^2
555小武子
2013-03-28 · TA获得超过1.5万个赞
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经过观察得到第n项的第一个数是2n-1,且第n项一共有n个数
所以第n项是2n-1,2n+1,……2n-1+2(n-1)
根据等差数列求和得到An=(3n-2)n=3n^2-2n
而1+4+9+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以Sn=n(n+1)(2n+1)/2-n(n+1)
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珠海CYY
2013-03-28 · TA获得超过1.1万个赞
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答:
a1=1=1²
a2=3+5=8=2³
a3=7+9+11=27=3³
则an可以看作n个奇数的和,其中第一个奇数为2×(前面所有奇数个数和)+1,
即为2×(1+(n-1))×(n-1)/2+1=n²-n+1
则an=n(n²-n)+1+3+5+…+2n-1=n(n²-n)+(1+2n-1)n/2=n³-n²+n²=n³
前n项和记为Sn
Sn=a1+a2+…+an
=1+3+5+…+(n²-n+1)+(n²-n+3)+…+(n²-n+2n-1)
=[(1+n²-n+2n-1)×(1+n)n/2]/2
=(n²+n)(n²+n)/4
=n²(n+1)²/4
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民办教师小小草
2013-03-28 · TA获得超过5.7万个赞
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数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,……的第n项的第一个和数=n(n-1)+1=n²-n+1
通项公式
an=n(n²-n+1)+n(n-1)*2/2
=n³-n²+n+n²-n
=n³
数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,……的前n项和
Sn=1³+2³+3³+.....+n³
=[n(n+1)/2]²
=(n^4+2n³+n²)/4
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匿名用户
2013-03-29
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分析 记该数列为{a<sub>n</sub>},则an是一个和式,把其各项看作数列{b<sub>k</sub>}的项,我们的必须搞清楚:它是什么数列、有多少项、首项(或末项)是什么?前两者较容易,即{b<sub>k</sub>}是有n项的等差数列,最关键是后者.  观察各组首项的规律:1,3,7,13,…用逐差法不难得首项通项为:n*n-n+1 (*表示乘)
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