Question

已知a属于R,函数f(x)=x分之a+lnx-1,g(x=(lnx-1)e的x次方+x(其中为自然对数的底数)求函数f(x)在区间(0,e...

已知a属于R,函数f(x)=x分之a+lnx-1,g(x=(lnx-1)e的x次方+x(其中为自然对数的底数)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值

Answer 1

f'(x)=-a/x²+1/x=(x²-a)/x²

当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
f(x)在(0,e]上为增函数
∴f(x)在(0,e]上只有最大值，没有最小值
f(x)max=f(e)=a/e

当a>0时，f'(x)=(x+√a)(x-√a)/x²

当0<√a<e,即0<a<e²时，
0<x<√a,f'(x)<0,f(x)递减
√a<x≤e,f‘(x)>0,f(x)递增
∴f(x)min=f(√a)=√a+1/2lna-1

当√a≥e即a≥e²时，
x∈(0,e],f'(x)≤0，f(x)在(0,e]上递减
f(x)min=f(e)=a/e