Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2根号2，E,F分别是AB,PD的中点

（1）求证：AF∥平面PCE（2）求证：平面PCE⊥平面PCD(3)求四面体PEFC的体积

Answer 1

解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG

∥

.

.

1
2
CD，AE

∥

.

.

1
2
CD
∴FG

∥

.

.

AE，∴AF∥GE
∵GE⊂平面PEC，
∴AF∥平面PCE；

（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE⊂平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为四面体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG=AF=
2
，GF=
1
2
CD=
2
，
S△PCF=
1
2
PD•GF=2．
得四面体PEFC的体积V=
1
3
S△PCF•EG=
2
2

3
．