Question

锐角△ABC的两条高BE,CD相交于点O，且OB=OC.（1）求证：△ABC的等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。

Answer 1

解：因为OB=OC，所以△OB C是等腰三角形，∴∠OBC=∠OCB。因为BE⊥AC，CD⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°，BC=BC。∴△BEC≌△CDB。所以∠ABC=∠ACB..。所以△ABC是等腰三角形。所以O在∠BAC的平分线上。

Answer 2

作AO的延长线，与BC交于点D。
∴∠OBC=∠OCB∴BO=CO
∴△BOC为等腰三角形
∵DO为AO延长线
∴DO也为△BOC的高（三线合一性)
∴∠ADC=∠ADB
∵∠AOC，∠AOB分别为△ODC，△ODB的外角
又∵∠1=∠2，∠ADC=∠ADB
∴∠AOC=∠AOB
在△ABO和△ACO中
AO=AO（公共边）
∠AOC=∠AOB
OB=OC
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴AC=AB（全等三角形对应边相等）
∴△ABC为等腰三角形

Answer 3

（1）△ABC是等腰三角形 ∵OB=OC，∠ODB=∠OEC=90°，∠DOB=∠EOC（对顶角相等） ∴△DOB全等于△EOC ∴OD=OE ∴BE=CD ∵BE=CD，∠ODB=∠OEC=90°，∠BAE=∠CAD ∴△ABE全等于△ACD ∴AB=AC ∴△ABC的等腰三角形（2）∵△ABC的两条高BE,CD相交于点O ∴△ABC的BC边上的高经过点O，且与A相连 ∵等腰三角形三线合一性质（等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线是同一条线） ∴点O在∠BAC的角平分线上