Question

定积分教材上的一道题 求解！！谢谢！！！

对a到正无穷上非负,连续的函数f(x),它的变上限积分在a到正无穷上有界是在该区间反常积分收敛的什么条件？

答案 充分不必要
求大虾详细解释

Answer 1

是充分非必要条件。
充分性的证明：因为连续的函数f(x)在[a, +inf.)非负，则其变上限积分
F(x) = ∫[a,x] f(t)dt
在[a, +inf.)单独上升，因而
lim(x→+inf.)F(x)
存在，即反常积分∫[a,+inf.) f(t)dt收敛。
非必要性举例：破坏一个条件（如非负）。函数f(x) = -1/x^2在[1, +inf.)的反常积分收敛，但其不满足条件。