高中数学空间几何题
四边形ABCD为正方形,现有一四棱柱以四边形ABCD为底面,且AC,BD交于F。且AA'=√2/2乘AB。(1)求证:A'F垂直C'F(2)求当AF以AA'为轴,CF以C...
四边形ABCD为正方形,现有一四棱柱以四边形ABCD为底面,且AC,BD交于F。且AA'=√2/2乘AB。
(1)求证:A'F垂直C'F
(2)求当AF以AA'为轴,CF以CC'为轴旋转时,所切去几何体体积为原几何体体积的多少? 展开
(1)求证:A'F垂直C'F
(2)求当AF以AA'为轴,CF以CC'为轴旋转时,所切去几何体体积为原几何体体积的多少? 展开
3个回答
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(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,且AC,BD交于F
∴AB=BC=CD=AD,AF=BF=CF=DF=(√2/2)*AB
∵四棱柱以四边形ABCD为底面
∴A'A⊥平面ABCD
∴A'A⊥AF
同理,C'C⊥CF
∵AA'=(√2/2)*AB
∴AF=AA'
∴A'F=√2*A'A=√2*(√2/2)*AB=AB
同理,C'F=AB
∵A'C'=AC=√2*AB
∴在⊿A'C'F中,A'F=C'F=AB,A'C'=√2*AB
∴∠A'FC'=90°
∴A'F⊥C'F
(2)这个问题很有问题,当AF以AA'为轴,CF以CC'为轴旋转时,AF和CF都是在同一平面,不论怎么切,都不可能把四棱柱切去部分体积,明显题目有误。应该是A'F和C'F旋转吧。
如果是“求当A'F以AA'为轴,C'F以CC'为轴旋转时,所切去几何体体积为原几何体体积的多少?”,那么可以用一下解法。
所切去几何体体积为两个1/4圆锥体,椎体体积公式为:(1/3)*底面积*高,底面积为:2*(1/4)*π*AF²=2*(1/4)*π*(√2/2)²*AB²=π*AB²/4,高为:A'A=(√2/2)*AB,所以所切去几何体体积为:(π*AB²/4)*(√2/2)*AB=(√2/8)*π*AB³。
原几何体体积为四棱柱的体积,棱柱的体积公式为:底面积*高,底面积为:AB²,高为A'A=(√2/2)*AB,原几何体体积为:AB²*(√2/2)*AB=(√2/2)*AB³。
所以,所切去几何体体积为原几何体体积的[(√2/8)*π*AB³]/[(√2/2)*AB³]=π/4
∵四边形ABCD为正方形,且AC,BD交于F
∴AB=BC=CD=AD,AF=BF=CF=DF=(√2/2)*AB
∵四棱柱以四边形ABCD为底面
∴A'A⊥平面ABCD
∴A'A⊥AF
同理,C'C⊥CF
∵AA'=(√2/2)*AB
∴AF=AA'
∴A'F=√2*A'A=√2*(√2/2)*AB=AB
同理,C'F=AB
∵A'C'=AC=√2*AB
∴在⊿A'C'F中,A'F=C'F=AB,A'C'=√2*AB
∴∠A'FC'=90°
∴A'F⊥C'F
(2)这个问题很有问题,当AF以AA'为轴,CF以CC'为轴旋转时,AF和CF都是在同一平面,不论怎么切,都不可能把四棱柱切去部分体积,明显题目有误。应该是A'F和C'F旋转吧。
如果是“求当A'F以AA'为轴,C'F以CC'为轴旋转时,所切去几何体体积为原几何体体积的多少?”,那么可以用一下解法。
所切去几何体体积为两个1/4圆锥体,椎体体积公式为:(1/3)*底面积*高,底面积为:2*(1/4)*π*AF²=2*(1/4)*π*(√2/2)²*AB²=π*AB²/4,高为:A'A=(√2/2)*AB,所以所切去几何体体积为:(π*AB²/4)*(√2/2)*AB=(√2/8)*π*AB³。
原几何体体积为四棱柱的体积,棱柱的体积公式为:底面积*高,底面积为:AB²,高为A'A=(√2/2)*AB,原几何体体积为:AB²*(√2/2)*AB=(√2/2)*AB³。
所以,所切去几何体体积为原几何体体积的[(√2/8)*π*AB³]/[(√2/2)*AB³]=π/4
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1),A'C'=AC=√2乘AB,A'F^2=AA'^2+AF^2,因为AF也等于√2/2乘AB,所以A'F=AB,同理C'F=AB,所以A'F^2+C'F^2=A'C'^2,所以三角开A'C'F为直角三角形,A'F垂直C'F
2),应该是A'F,和C'F吧,A'F,和C'F旋转就会形成两个四分之一锥体,锥体半径为AF=√2/2乘AB,高为AA'==√2/2乘AB,锥体体积为三分之一倍的底面积乘高,切去的几何体体积为半个锥体,应为√2*pi/24乘AB的立方,四棱柱体积为√2/2乘AB的立方,所以为pi/12
2),应该是A'F,和C'F吧,A'F,和C'F旋转就会形成两个四分之一锥体,锥体半径为AF=√2/2乘AB,高为AA'==√2/2乘AB,锥体体积为三分之一倍的底面积乘高,切去的几何体体积为半个锥体,应为√2*pi/24乘AB的立方,四棱柱体积为√2/2乘AB的立方,所以为pi/12
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①证明:做辅助线A′F,C′F
∵A′A=AF C′F=CF A′A⊥AC C′C⊥AC
∴∠A′FA=∠C′FC=45º
∴∠A′FC′=90º
②原体积:√2/2AB²
切掉部分:0.5πAF²·A′A=√2/8AB²π
比例为;1π/4
∵A′A=AF C′F=CF A′A⊥AC C′C⊥AC
∴∠A′FA=∠C′FC=45º
∴∠A′FC′=90º
②原体积:√2/2AB²
切掉部分:0.5πAF²·A′A=√2/8AB²π
比例为;1π/4
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