Question

判断级数∑1／1＋a∧n﹙a＞0﹚的敛散性

Answer 1

解：原式=(a^(1/n)+a^(-1/n)-2)

=a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²

=lim{a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)

=lima^(- 1/n)·lim[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)

=lim[(1/n)·lna]²}/(1/n²)

=ln²a>0

所以此级数收敛

扩展资料

性质：

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数。

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。

这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)。

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0。

Answer 2

1. a<1, 当n趋于无穷,a^n趋于0，一般项1/(1+a^n)趋于1，级数发散
2.a=1 一般项1/(1+a^n)=1/2，级数发散
3.a>1, 1/(1+a^n)<1/a^n.因为1/a<1,级数1/a^n收敛，原级数收敛
所以：a>1收敛，0<a《1,级数发散

Answer 3