Question

设f(x)定义域为D,若满足; (1)f(x)在D 内是单调函数；（2）存在[a,b]是D 的子集

设f(x)定义域为D,若满足; (1)f(x)在D
内是单调函数；（2）存在[a,b]是D
的子集使f(x)在x∈[a,b]值域为[a.b],
则称f(x)为D上的闭函数。 当f(x)=√(2x+1) +k为闭函数，k的范围是

Answer 1

要使f(x)为闭函数，必须使f(x)=x有两个或者两个以上实根
函数y=f(x)=k+√(2x+1)为闭函数
所以，k+√(2x+1)=x有两个或两个以上实根
化简得，√(2x+1)=x-k
即，2x+1=x²-2kx+k²
即，x²-2(k+1)x+k²-1=0
方程有2个不同实根，则
△=[-2(k+1)]²-4×1×(k²-1)
=4k²+8k+4-4k²+4
=8k+8>0
解得，k>-1
又，x-k=√(2x+1)≥0,且x≥-1/2
所以，k≤-1/2
综上可得，k的取值范围为-1<k≤-1/2

Answer 2

f(x)=√(2x+1) +k
f'(x)=1/√(2x+1)>0
定义域：x≥-1/2 单调增
设[a，b]∈{ x|x≥-1/2 }
则 √(2a+1) +k≥a ①
√(2b+1) +k≤b ②
由②可得
√(2b+1) ≤b-k
则 k<b
b²-2(k+1)b-1+k²≥0
△=4(k+1)²+4(1-k²)≤0
k≤-1
由①可得
由于k<b
当k≥a时①恒成立
当k<a时
a²-2(k+1)a-1+k²≤0
△=4(k+1)²+4(1-k²)≥0
k≥-1
故k]∈[a，b]或k=-1