Question

已知函数f（x）=ax^3+bx^2+c的图像经过（0，1）且在x=-2处的切线方程是2x+y+2=

=0 求y=f（x）的解析式 y=f（x）的单调减区间

Answer 1

已知函数f（x）=ax^3+bx^2+c的图像经过（0，1）得
c=1
已知函数f（x）=ax^3+bx^2+c的图像在x=-2处的切线方程是2x+y+2=0得
f'（x）=3ax^2+2bx=-2即12a-8b=-2
x=-2,y=2得2=-8a+4b+1
解方程组得a=0,b=1/4
y=f（x）的解析式为y=0.25x^2+1
单调减区间是(-∞,0)

Answer 2

f(0)=c=1
f(x)=ax^3+bx^2+1
2x+y+2=0, y=-2x-2
令x=-2, y=2, 切点 (-2,2)
f'(x)=3ax^2+2bx
f'(-2)=3a*(-2)^2+2b*(-2)=12a-4b=-2, 3a-b=-1/2 ....(1)
f(-2)=a*(-2)^3+b*(-2)^2+1=-8a+4b+1=2, -2a+b=1/4 ....(2)
(1)+(2): a=-1/4
代入(1): b=3a+1/2=1/2-3/4=-1/4
f(x)=-1/4x^3-1/4x^2+1
f'(x)=-3/4x^2-2/4x=-x(3x+2)/4
当 -2/3<x<0, f'(x)>0,f(x)单调递增 [-2/3, 0]
当 x<-2/3 或 x>0, f'(x)<0, f(x)单调递减 (-∞,-2/3], [0,+∞)