已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)。(1)若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围... 30

已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)。(1)若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值。(2)若f(x)小于等于2... 已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)。(1)若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值。(2)若f(x)小于等于2x在(0,正无穷)上恒成立,求a的取值范围。 展开
yx208
2013-03-29 · TA获得超过1.2万个赞
知道大有可为答主
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首先,函数在(0,+∞)上单调递增的;

(1)[m,n]上的值域是[m,n]
因此,必有f(m)=m,f(n)=n
1/a-1/m=m
1/a-1/n=n
两式相减,得:(n-m)(mn-1)/(mn)=0,故有mn=1,m、n为倒数关系;
由于m+1/m>2
故0<a<1/2

(2)1/a-1/x≤2x在(0,+∞)上恒成立;
即:1/a≤2x+1/x
2x+1/x≥2√(2x/x)=2√2,当2x=1/x,x=√2/2时取“=”

所以a≥√2/4
Adler090
2013-03-29 · TA获得超过444个赞
知道小有建树答主
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(1) 设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2<0。
所以f(x)为增函数。
f(m)=m ,f(n)=n。
m=1/a-1/m
n=1/a-1/n
m²-1/am+1=0,n²-1/an+1=0。
m,n为方程y²-1/ay+1的两个不相等的实根,
判别b²-4ac=1/a²-4×1×1>0 a>0,故a的范围为0<a<1/2。
m=[1/a-√(1/a²-4)]/2,n=[1/a+√(1/a²-4)]/2。(因为m<n)
(2)f(x)小于或等于2x在(0,+无穷)上恒成立。
即1/a<=1/x+2x (x>0)
求出1/x+2x在(0,+无穷)的最小值即可.
1/x+2x≥2√2,x=√2/2取等号。1/a<=2√2 a>=√2/4
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