Question

如何用MATLAB中的工具箱求解线性矩阵不等式

例如：求解:
minv
x1F1+x2F2<vI
F1和F2为已知对称矩阵如何求的x1和x2

Answer 1

您好！

这里的意思是先将特征向量单位化（即把向量除以它自己的模），然后再利用这些已被正交化、单位化的特征向量去构成正交矩阵P。由于这些单位特征向量两两正交，矩阵P自然就是正交矩阵。

定理7的证明：

证：
设A的特征向量为x1,x2,...xn，特征值为λ1,λ2,...,λn
对其中任两个向量x1,x2，有
Ax1=(λ1)x1
Ax2=(λ2)x2
即
∑(Aij)(x1j)=(λ1)(x1i) （j从1到n)
∑(Aij)(x2j)=(λ2)(x2i) （j从1到n)
其中Aij为A的第i列第j行的元素，x1i为x1的第i个元素。
因A为对称矩阵，故对任意i,j，有Aij=Aji

若λ1≠λ2，则
x1与x2的内积
∑(x1i)(x2i) （i从1到n)
= ∑[(λ1)(x1i)(x2i)-(λ2)(x2i)(x1i)]/(λ1-λ2) （i从1到n)
= ∑∑[(Aij)(x1j)(x2i)-(Aij)(x2j)(x1i)]/(λ1-λ2) （i从1到n，j从1到n)
= ∑∑[(Aij)(x1j)(x2i)-(Aji)(x2i)(x1j)]/(λ1-λ2)（i从1到n，j从1到n)
= ∑∑[(Aij)-(Aji)](x1j)(x2i)/(λ1-λ2)（i从1到n，j从1到n)
= ∑∑(0)(x1j)(x2i)/(λ1-λ2)（i从1到n，j从1到n)
= 0
故λ1≠λ2时，x1与x2正交。

若λ1=λ2，则x与y所构成的向量空间{ax+by}中的所有向量都是特征向量（A(ax+by)=λ1(ax+by)），所以可以在这向量空间中任意选取两个正交特征向量。当有k个相等特征值（λ1=λ2=...=λk）时的情况也一样。
故λ1=λ2时，x1与x2正交。

所以A的特征向量x1,x2,...,xn两两正交。

令y1=x1/|x1|,y2=x2/|x2|,...yn=xn/|xn|
则y1,y2,...yn为A的特征向量,即对任意i，A(yi)=(λi)(yi)
而且它们两两正交，即对任意i≠j，
yi*yj=0，*表示内积
并且它们是单位向量，即对任意i，
|yi|=1

令矩阵 P=(y1 y2 ... yn)，则
因y1,y2,...,yn两两正交并且是单位向量，
故P是单位正交矩阵，P^-1=P^t=(y1 y2 ... yn)^t
其中^t表示转置矩阵

(P^-1)AP
= (P^t)AP
= (y1 y2 ... yn)^t A (y1 y2 ... yn)
= (y1 y2 ... yn)^t (Ay1 Ay2 ... Ayn)
= (y1 y2 ... yn)^t (λ1y1 λ2y2 ... λnyn)
= diag(λ1|y1|^2 λ2|y2|^2 ... λn|yn|^2 )
其中diag表示对角矩阵。这里非对角的元素全为0，因为对任意i≠j，第i列第j行的元素=λj(yi*yj)=0
= diag(λ1 λ2 ... λn)

希望我的解释您能够满意！谢谢！