Question

如图,A,B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到公路的距离分别是300和500,两村庄之间的距离为

如图,A,B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到公路的距离分别是300和500,两村庄之间的距离为d(已知d²=400000),现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小.问最小距离之和是多少 ?

Answer 1

如图，过L做B点的对称点D，过A做AC垂直于BD，垂足为C,则可得出BC=200,CD=800,

因为AB^2=BC^2+AC^2,AB^2=400000，所以AC=600,在三角形ACD中运用勾股定理的AD=1000

即为最短距离的和

明白了没

Answer 2

作点B关于直线l的对称点C，连接AC，交直线l与O；连接OB。则停靠站在O点距离之和最小。
作AD⊥BC,交BC与D
CD=500+300=800
AC=√(d²+CD²)=200√26
OA+OB=OA+OC=AC=200√26

Answer 3

以公路为对称轴，在对面取A的对称点C,连接CB，则CB之间的距离即为最小距离，假设CB与公路的交点为D，因为AC关于公路对称，所以AD+CD=CD+DB,两点之间直线最短，所以CB即为所求，假设AC与公路交与E,B到公路引垂线，垂足为F.因为直角三角形CDE相似于直角三角形BDF，相似比为3、5，而EF^2=AB^2-(BF-AE)^2，EF=200，ED/DF=3/5，ED+DF=200，所以ED=75，DF=125.在直角三角形CDE和直角三角形BDF中，分别应用勾股定理，可得CD^2=CE^2+ED^2，
DB^2=DF^2+BF^2，解得CD=(300根号17）/4，DB=125根号5.
所以BC==(300根号17）/4+125根号5，即为最短距离