设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=[(an+1)\2 ]^2.证明数列{an}为等差数列

xuzhouliuying
高粉答主

2013-03-29 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
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证:
n=1时,a1=S1=[(a1+1)/2]²
整理,得
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时,Sn=[(an +1)/2]² S(n-1)=[ [a(n-1)+1]/2 ]²
an=Sn-S(n-1)=[(an +1)/2]²-[ [a(n-1)+1]/2]²
4an=an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列为正项数列,各项均为正,an+a(n-1)>0,要等式成立,只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2,为定值。
数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列。
梨馥62
2013-03-29 · TA获得超过438个赞
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a(n)=s(n)-s(n-1)= [a(n)+1]²/4-[a(n-1)+1]²/4
4a(n)= [a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²
[a(n)-1]²-[a(n-1)+1]²=0
[a(n)-1+a(n-1)+1] [ a(n)-1-a(n-1)-1]=0
[a(n)+a(n-1)] [ a(n)-a(n-1)-2]=0
∵ [a(n)+a(n-1)] >0
∴ a(n)-a(n-1)=2
∴a(n)是等差数列
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百度网友9c3fddf
2013-03-29 · TA获得超过1283个赞
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因此4Sn=[an+1]^2,又4Sn-1=[an-1+1]^2,两式相减有,4an=an^2+2an+1-an-1^2-2an-1-1,整理得:2(an+an-1)=an^2-an-1^2,由于an是正数列,因此an+an-1不等于0,约去an+an-1,整理得:2=an-an-1,因此数列{an}是等差数列,且公差为2
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匿名用户
2013-03-30
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S1=a1=[(a1+1)/2] �0�5,解得a1�0�5-2a1+1=0,得到a1=1
当n>=2时,an=Sn-S(n-1)=[(an+1)/2]�0�5-[(a(n-1)+1)/2]�0�5
即4an=(an+1)�0�5-(a(n-1)+1)�0�5,化简得(a(n-1)+1)�0�5=(an-1)�0�5。
当n>=2时,a(n-1)>0,所以a(n-1)+1>0,又(an-1)>1
那么当(a(n-1)+1)�0�5=(an-1)�0�5时,即得a(n-1)+1=an-1,也就是an=a(n-1)+2
故{an}是以1为首项,2为公差的等差数列。
an=2n-1,Sn=n�0�5
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匿名用户
2013-03-30
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解答如图所示
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