Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=[（an+1）\2 ]^2.证明数列{an}为等差数列

Answer 1

证：
n=1时，a1=S1=[(a1+1)/2]²
整理，得
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，Sn=[(an +1)/2]² S(n-1)=[ [a(n-1)+1]/2 ]²
an=Sn-S(n-1)=[(an +1)/2]²-[ [a(n-1)+1]/2]²
4an=an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1)
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列为正项数列，各项均为正，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。

Answer 2

a(n)=s(n)-s(n-1)= [a(n)+1]²/4-[a(n-1)+1]²/4
4a(n)= [a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²
[a(n)-1]²-[a(n-1)+1]²=0
[a(n)-1+a(n-1)+1] [ a(n)-1-a(n-1)-1]=0
[a(n)+a(n-1)] [ a(n)-a(n-1)-2]=0
∵ [a(n)+a(n-1)] >0
∴ a(n)-a(n-1)=2
∴a(n)是等差数列

Answer 3

因此4Sn=[an+1]^2，又4Sn-1=[an-1+1]^2，两式相减有，4an=an^2+2an+1-an-1^2-2an-1-1，整理得：2（an+an-1）=an^2-an-1^2，由于an是正数列，因此an+an-1不等于0，约去an+an-1，整理得：2=an-an-1，因此数列{an}是等差数列，且公差为2

Answer 4

S1=a1=[(a1+1)/2] �0�5，解得a1�0�5-2a1+1=0，得到a1=1
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=[(an+1)/2]�0�5-[(a(n-1)+1)/2]�0�5
即4an=(an+1)�0�5-(a(n-1)+1)�0�5，化简得(a(n-1)+1)�0�5=(an-1)�0�5。
当n>=2时，a(n-1)>0，所以a(n-1)+1>0，又(an-1)>1
那么当(a(n-1)+1)�0�5=(an-1)�0�5时，即得a(n-1)+1=an-1，也就是an=a(n-1)+2
故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=2n-1，Sn=n�0�5

Answer 5

解答如图所示