Question

已知α、β均为锐角，cosα=1/7，sin（α+β）=（5√3）/14,求β

Answer 1

已知α、β均为锐角，cosα=1/7，sin（α+β）=（5√3）/14,求β

解：∵α、β均为锐角，且cosα=1/7，∴sinα=√(1-cos²α)=√(1-1/49)=(√48)/7=(4/7)√3
又cosα=1/7=0.1428<0.5=1/2，故α>60º；
sin(α+β)=（5√3）/14=0.6186>0.5，故α+β>30º+60º=90º，即α+β一定是钝角。故：
cos(α+β)=-√[1-sin²(α+β)]=-√[1-(75/196)]=-11/14
cos(α+β)cosα=-11/98=(1/2)[cosβ+cos(2α+β)]
即有cosβ+cos(2α+β)=-11/49............(1)
sin(α+β)sinα=[(5/14)√3][(4/7)√3]=30/49=(1/2)[cosβ-cos(2α+β)]
即有cosβ-cos(2α+β)=60/49...............(2)
(1)+(2)得2cosβ=-11/49+60/49=49/49=1，cosβ=1/2，故β＝60º

Answer 2

cosα=1/7根据cos²a+sin²a=1
有：sin²α=48/49
又α、β均为锐角，则sinα> 0
则：sinα=4√3/7
sin（α+β）=（5√3）/14 则：cos²(α+β)=121/196
又α、β均为锐角，则α+β是锐角还是钝角未知，所以cos(α+β)=±11/14

sinβ=sin((α+β)-α) =sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα
当cos(α+β)=11/14时
sinβ=（5√3）/14×1/7﹣11/14 ×4√3/7=﹣39√3/98< 0 不符合提议
所以必须有cos(α+β)=﹣11/14
由cosβ=cos((α+β) -α)= cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα
得到：cosβ=﹣11/14×1/7+ （5√3）/14 ×4√3/7=1/2
则：β=60°

Answer 3

sinb=sin(a+b-a)=sin(a+b)cosa-cos(a+b)sina=根3/2或……＜0舍去。得到b=派/6

Answer 4

和角公式展开慢慢算