Question

设一平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面4x-y+2z=8垂直，求此平面的方程？

Answer 1

你好！
设此平面的方程为：ax+by+cz=d;
平面经过原点得d=0;
由平面经过（6，-3，2）得6a-3b+2c=0;
由所求平面与平面4x-y+2z=8垂直得（a,b,c)·（4，-1，2）=4a-b+2c=0;
由以上两式知 b=a, c=-1.5a,
于是所求平面为 a(x+y-1.5z)=0, 即 x+y-1.5z=0

注意：平面 d(ax+by+cz)=0 与 ax+by+cz=0是同一个面，这是因为它们的法向量是倍数关系，如果一个向量是另一个向量的倍数，则它们平行；而过一个点且具有指定的法向量时仅能画出一个平面。

如不懂欢迎再问！

Answer 2

解：
设所求的平面方程为：ax+by+cz=0
则6a-3b+2c=0 ①
平面4x-y+2z=8的法向量n=(4，-1，2)
故4a-b+2c=0 ②
由①-②得：
2a-2b=0
a=b
把a=b代入①得：
6b-3b+2c=0
c=-3b/2
代入平面方程得：
bx+by-3b/2 z=0
即x+y-3/2 z=0

答案：x+y-3/2 z=0