Question

已知：﹙x＋√﹙x²＋1﹚﹚﹙y＋√﹙y²＋1﹚﹚＝1.求证：x＋y＝0

Answer 1

﹙x＋√﹙x²＋1﹚﹚﹙y＋√﹙y²＋1﹚﹚＝1
所以
x＋√﹙x²＋1﹚=1/﹙y＋√﹙y²＋1﹚﹚=-y＋√﹙y²＋1﹚=（-y）＋√﹙（-y）²＋1﹚

对于函数f(x)=x+根号(x^2+1)
f'(x)=1+x/根号(x^2+1)=(根号(x^2+1)+x)/根号(x^2+1)>0
从单调性容易证明，f(x)是单调递增的
所以x=-y即x+y=0

Answer 2

﹙x＋√﹙x²＋1﹚﹚﹙y＋√﹙y²＋1﹚﹚＝1. (1)
[﹙x＋√﹙x²＋1﹚﹚﹙y＋√﹙y²＋1﹚﹚﹙x-√﹙x²＋1﹚﹚﹙y-√﹙y²＋1﹚﹚]＝﹙x-√﹙x²＋1﹚﹚﹙y-√﹙y²＋1﹚﹚
[.x²-﹙x²＋1﹚[]y²-﹙y²＋1]=﹙x-√﹙x²＋1﹚﹚﹙y-√﹙y²＋1﹚﹚
﹙x-√﹙x²＋1﹚﹚﹙y-√﹙y²＋1﹚﹚=1
xy-x√﹙y²＋1﹚-y√﹙x²＋1﹚+√﹙x²＋1﹚√﹙y²＋1﹚=1 （2）
分解（1）得
xy+x√﹙y²＋1﹚+y√﹙x²＋1﹚+√﹙x²＋1﹚√﹙y²＋1﹚=1 （3）

（3）-（2）

2x√﹙y²＋1﹚+2y√﹙x²＋1﹚=0

x√﹙y²＋1﹚=-y√﹙x²＋1﹚

平方得
x²﹙y²＋1﹚=y²﹙x²＋1﹚

所以
x²=y²