Question

xy'-y-√(y^2-x^2)=0的通解让x/y=u，得到y'=u+√u^2-1 在这我有一个小问题，为什么不能直接积分，然后我

就继续按书上的做，y'=u+(du/dx)*x然后书上的答案是
y=xsin（lnx+c） ，然后就手足无措了，求大神

Answer 1

直接积分,缺少相应的公式。
设y=ux,则dy=xdu+udx,
∴dy/dx=xdu/dx+u,
原方程变为xdu/dx-√(u^-1)=0,
分离变量得du/√(u^-1)=dx/x,
∴ln[u+√(u^-1)]=lnx+lnc,
∴u+√(u^-1)=cx,
∴y+√(y^-x^)=cx^,
√(y^-x^)=cx^-y,
平方得y^-x^=(cx^)^-2cx^y+y^,
∴y=(c/2)x^+1/(2c).
与您的答案不一致。

追问

缺少相应的公式是什么意思。我是这样想的y'就相当于f(x)'=p(x),那∫f(x)'=∫p(x)，为什么不可以啊，求解，明白了马上采纳

追答

y'=dy/dx,但是，变量替换后出现u,所以，需把y'用u,x表示。
∫f(x)'dx=∫p(x)du?