Question

1的平方+3的平方+5的平方一直加到99的平方是多少？有什么规律吗？给我讲讲

Answer 1

有公式1的平方+3的平方+5的平方一直加到n的平方等于n*(n+1)*(n+2)/6,最后结果为998*100*101/6=166650
第一种就是设一个三次函数，求出各项系数，得到如上公式
第二种就用数学归纳法证明。
我想说的是 1的M次方+3的M次方+5的M次方一直加到n的M次方的结果总是一个最高次为M+1的多项式。

Answer 2

S=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

n=99带入以上得：S=99*100*199/6=328350

Answer 3

1^2+3^2+5^2+......+99^2
第1项 n=1 (2n-1)^2 1^2
第2项 n=2 (2n-1)^2 3^2
第3项 n=3 (2n-1)^2 5^2
......
第50项 n=50 (2n-1)^2 99^2
当n=1~50时
∑(2n-1)^2 = 166650 (用计算机计算)
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Answer 4

1²+2²+3²+...+99²
=99﹙2×99+1﹚﹙99+1﹚／6
=328350