Question

已知动点P到定点F（根号2，0）的距离与点P到定直线l:x=2根号2的距离之比为（根号2/2）

已知动点P到定点F（根号2，0）的距离与点P到定直线l:x=2根号2的距离之比为（根号2/2）已知动点P到定点F（根号2，0）的距离与点P到定直线l:x=2根号2的距离之比为[根号2/2]（1）求动点P的轨迹C的方程（2）设M,N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM【两字母上面划一箭头向右】●FN【两字母上面划一箭头向右】=0，求|MN|的最小值

Answer 1

第一个问题：
设点P的坐标为（x，y）。依题意，有：√［（x－√2）^2＋（y－0）^2］/｜x－2√2｜＝√2/2，
∴4［（x－√2）^2＋y^2］＝2（x－2√2）^2，
∴2（x^2－2√2x＋2）＋2y^2＝x^2－4√2x＋8，
∴x^2＋2y^2＝4，
∴x^2/4＋y^2/2＝1。
∴动点P的轨迹方程是椭圆：x^2/4＋y^2/2＝1。

第二个问题：
设点E的坐标为（m，n）。
依题意，有：（m＋√2）/2＝0、（n＋0）/2＝0，∴m＝－√2、n＝0。
∴点E的坐标为（－√2，0）。

∵M、N都在直线x＝2√2上，∴可设点M、N的坐标分别是（2√2，t）、（2√2，u）。
∴向量EM＝（3√2，t）、向量FN＝（√2，u）。
依题意，有：向量EM·向量FN＝0，∴6＋tu＝0，∴tu＝－6。

显然有：
｜MN｜
＝｜t－u｜＝√（t^2－2tu＋u^2）＝√［（t^2＋u^2）＋12］≧√［2｜tu｜＋12］＝2√6。
∴｜MN｜的最小值是2√6。