Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D． ．

（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC=3，AE=4．
①求AD的值；②求图中阴影部分的面积

Answer 1

1)

∵∠CDA=∠DEA(弦切角等于所切圆弧所对的圆周角)

∴RT⊿ACD∽⊿ADE

∴∠CAD=∠DAE,即AD平分∠BAC．

（2）

由（1）得AC/AD=AD/AE,即AD=√(AC×AE)=2√3

因无图，不能求阴影面积

Answer 2

（1）证明：连接DE，BC相切于⊙O点D，
∴∠CDA=∠AEO．
AE为直径，∠ADE=90°，
AC⊥BC，∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）①连接ED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=∠C=90°．
又由（1）知∠DAO=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴ AD/AE=AC/AD，
∵AC=3，AE=4，
∴ AD^2=AE�6�6AC=3×4=12，
∴ AD=√12=2√3．
②在Rt△ADE中， cos∠DAE=AD/AE=2√3/4=√3/2，
∴∠DAE=30°．
∴∠AOD=120°，DE=2．
∴ S△AOD=(1/2)S△ADE= (1/2)×(1/2)xAD×DE=√3，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD= 4π/3-√3．