Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=

（2012�6�1湖南）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，
Ｅ是ＣＤ的中点，所以
所以
而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
（Ⅱ）过点Ｂ作
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE
所成的角，且.
由知，为直线与平面所成的角.

由题意，知
因为所以
由所以四边形是平行四边形，故于是
在中，所以
　　　　　　　
于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为
　　　　　　　　　

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知因为
所以而是平面内的两条相交直线，所以
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.
又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.

Answer 2

你还要不？