Question

已知圆C的半径为2,圆心在X轴的正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切

是否存在过点P（0，-3)的直线L与圆C交于不同两点A、B，且弦AB的垂直平分线m过点Q(3,-3),若存在，求出直线L的方程

Answer 1

你好！
假设存在。
设圆心为O（x,0) r=|3x+4|/5=2 x=2或-14/3<0（舍去） 故圆心为(2,0)
设L：y+3=kx AB的垂直平分线m:y+3=(-1/k)(x-3)同时m也一定过圆心，所以
0+3=（-1/k)(2-3)........k=1/3
即L：y=1/3x-3

Answer 2

解：①设圆心C(a,0)(a＞0),则 C到直线3x-4y+4=0的距离为d=r=2
即 |3a+4|/5=2 ∴ a=2(a=-14/3舍去) 圆的方程为(x-2)²+y²=4
②弦AB的垂直平分线必过圆心C(2,0)，又过Q(3,-3)，则
QC的斜率为 kQC=-3 QC⊥AB ∴ kAB=1/3
又 L(即AB)过点P(0,-3)，故 直线L的方程为y=x/3-3

追问

谢谢

Answer 3

因为圆心在x轴正半轴上，所以设C坐标(x,0). 结合 点到直线距离公式求得C坐标(2,0)，由此可得圆方程 （X-2）²+Y²=4
设过点P直线L方程Y=KX-3，联立圆方程得（1+K²）X²-（4+6K)X+9=0
要使直线与原有两个不同交点，则△＞0，解得K＞八分之五
设A坐标（Xa,Ya) ;B坐标（Xb,Yb) 由韦达定理，横坐标之和为4+6K/(1+K²）
纵坐标之和9/（1+K²）则AB中点坐标【2+3K/(1+k²），9/2(1+K²）】，设此点为D
则CD斜率-1/K，另设CD方程Y=-X/K +M 带入D点坐标后用K把M表示出来，代回CD方程，得到一个只含K的CD表达式，将Q代入
解得K即可
时间不够，得数自己算吧......抱歉