Question

①sin2x=2tanx/[1+(tanx)^2]吗？为什么？ ②已知sinαcosβ=1/2，求cosαsinβ的取值范围

Answer 1

(1)
右边2tanx/(1+tan^2x)=(2sinx/cosx)cos^2x=2sinxcosx=sin2x=左边
(2)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cosαsinβ=sin(α+β)-sinαcosβ
因为-1<=sin(α+β)<=1,
sinαcosβ=1/2
所以-3/2<=sin(α+β)-sinαcosβ<=1/2
所以-3/2<=cosαsinβ<=1/2

很高兴为您解答，祝你学习进步！
【梦华幻斗】团队为您答题。有不明白的可以追问！
如果您认可我的回答。请点击下面的【选为满意回答】按钮，同时可以【赞同】一下，谢谢！

追问

可是第二题我们老师的答案是[-1/2,1/2]？

追答

额，考虑错了，应该这样
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2+cosα*sinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/2-cosα*sinβ

因为｜sin(α+β)｜≤1，所以|1/2+cosα*sinβ|≤1
－1≤1/2+cosα*sinβ≤1，－1.5≤cosα*sinβ≤0.5
同理：由｜sin(α－β)｜≤1，所以|1/2－cosα*sinβ|≤1
－0.5≤cosα*sinβ≤1.5

所以：－0.5≤cosα*sinβ≤0.5
望采纳~

追问

2tanx/(1+tan^2x)=(2sinx/cosx)cos^2x可以详细一点不?谢谢

追答

这是二倍角公式：sin2x=2sinxcosxcos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2]正弦函数在一二象限为正，三四象限为负。余弦函数在一四象限为正，二三象限为负。正切函数在一三象限为正，二四象限为负。sin2x=2sinxcosxcos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2]sin2x=2sinxcosx,