Question

不定积分下面的题，第一步是怎么变到的？麻烦高手解答下。谢谢

Answer 1

先用综合除法得到：
(x^5+x^4-8)=(x^3-x)(x^2+x+1)+(x^2+x-8)
于是
(x^5+x^4-8)/(x^3-x)=(x^2+x+1)+(x^2+x-8)/(x^3-x)
而x^3-x=x(x+1)(x-1)，故用待定系数法可设
(x^2+x-8)/(x^3-x)=(x^2+x-8)/[x(x+1)(x-1)]=a/x+b/(x-1)+c/(x+1)得
x^2+x-8=a(x-1)(x+1)+bx(x+1)+cx(x-1)
令x=0得-8=-a，a=8；
令x=1得-6=2b，b=-3；
令x=-1得-8=2c，c=-4
故(x^5+x^4-8)/(x^3-x)=(x^2+x+1)+8/x-3/(x-1)-4/(x+1)
不明白请追问。
楼上的第一步没有除对。

追问

额/.......第一步我就不会，，综合除法怎么除的？能帮我细讲下吗？后面的都懂

追答

这个就是整式除法，跟多位数除多位数一样的。将被除式和除式都安降幂排列，缺项补零：
x^2+ x +1
_____________________
x^3+0x^2-x+0丿x^5+x^4+0x^3+0x^2+0x-8
x^5 - x^3
______________________
x^4+ x^3+0x^2
x^4 - x^2
_______________________
x^3+x^2 +0x-8
x^3 -x
_______________________
x^2 + x -8
所以商式为x^2+ x +1，余式为x^2 + x -8

Answer 2

x^5+x^4-8 = (x^3-x)(x^2+x+1) + x^2-7
let
(x^2-7)/(x^3-x) = A/x + B/(x+1) + C/(x-1)
x^2-7 = A(x^2-1) +Bx(x-1) +Cx(x+1)
put x=0
A=8
put x= -1
B=-4
put x=1
C= -3
(x^2-7)/(x^3-x) = 8/x - 4/(x+1) - 3/(x-1)

∫ (x^5+x^4-8)/(x^3-x) dx
= ∫ [(x^2+x+1) +(x^2-7)/(x^3-x)] dx
=∫ [(x^2+x+1) + 8/x - 4/(x+1) - 3/(x-1)] dx