Question

已知a+b+c大于0，ab+bc+ac大于0，abc大于0，求证a，b，c三数都大于0

Answer 1

假设其中一个小于0，不妨设a<0
因为abc>0，则b、c一个大于0，一个小于0，不妨设b<0，c>0
所以ab+bc+ac=ab+c(a+b)>0，即c<-ab/(a+b)
而a+b+c>0，则c>-a-b
下证-a-b>-ab/(a+b)
即-(a+b)*(-(a+b))>ab
即a^2+b^2+2ab>ab
即a^2+b^2+ab>0
即(a+b/2)^2+3/4b^2>0，显然成立
所以-a-b<c<-ab/(a+b)<-a-b，矛盾
所以a>0,b>0,c>0

Answer 2

用反证法假如a>0,b<0,c<0
由a+b+c>0，得a>-(b+c)；由ab+bc+ac>0,得a<-bc/(b+c)
所以-(b+c)<-bc/(b+c),即b2+bc+c2<0,这与b<0,c<0矛盾。因为abc>0所以a,b,c为3个正数或者1个正数2个负数
假设为1正2负 由于a,b,c是对称的 不妨设a>0>b>=c
因为a+b+c>0 所以a>-(b+c) 又因为b+c<0所以a(b+c)<-(b+c)^2
所以ab+bc+ac=bc+a(b+c)<bc-(b+c)^2=-b^2-c^2-bc=-(b+c/2)^2-3c^2/4<0
与ab+bc+ac>0矛盾 所以a,b,c均为正数