Question

一三位数 ，被37整除余5 被41整除余11，求这个数有几个?? 两个问题

1 看网上说什么剩余定理怎么回事啊? 木有学过余数定理谁能详细的解释下.

2 本人用的公式就是MN+X
M为除数最小公倍数 N为自然数 X为余数最小自然数
求 X 有什么快捷方法没有,求大侠指导...

Answer 1

三位数X，被37除，余5；被41除，余11，求X.
引：
用同余式x==r mod m 表示
将x被m除，余数为r 或 x与r除以m所得余数相同。
于是原题可写成同余式组：
x== 5 mod 37
x==11 mod 41
解：
我们学习过的多元一次方程组也具有线性叠加性质。对于这类问题的研究，形成了一本学科，称为线性代数。其中有个很重要的方法，称为拉格朗日插值法，是线性叠加法的一种特例。
我们先解一个简单的二元一次方程组。
x+y=37
2x+5y=41
可以这样做：
先取x,y=18,5，代入两个方程左侧，得到的值是23,41.
我们设法求得x,y=a,b, 使得到的值是 14,0.
那么将两组源值(18,5)与(a,b)叠加，得到的值也会叠加，即当
(x,y)=(18,5)+(a,b)=(18+a, 5+b)时，得到的值训是37, 41，于是得到原方程组的解。
总之，
思路是，不一定要一次就得到完全正确的答案；可先得到部分满足的（不正确的）答案，再在其基础上修正。
用这种思路来解一般的二元一次方程组，可以这样：
ax+by=m
cx+dy=n
先解
ax+by=m
cx+dy=0
再解
ax+by=0
cx+dy=n
再将此二个解叠加，即得正确解。

同余式组也具有线性叠加性质。以下我们来解
x== 5 mod 37
x==11 mod 41
先取x[1]=5，即
x[1]==5 mod 37
x[1]==5 mod 41
再取
x[2]==0 mod 37
x[2]==6 mod 41
你看看x[1]+[x2]不就满足原同余式组了吗？
而x[2]是很容易求得的，
x[2]==0 mod 37 即说明x[2]=37k, k为整数。
于是37k==6 mod 41
即-4k ==6 mod 41
即-2k==3 mod 41 ==-38 mod 41
即k==19 mod 41，取其特值19不影响最后结果。
于是取x[2]=37*19=703
于是x==x[1]+x[2]=5+703 mod 41*37== 708 mod 41*37
即x=708+41*37N, N为整数。
而x为三位数，故仅能取值708

题：
x== 5 mod 37
x==11 mod 41
如果是
先解
x[1]==5 mod 37
x[1]==0 mod 41
再解
x[2]==0 mod 37
x[2]==11 mod 41
这样就是中国剩余定理的思路。
但是，我们并不一定要用中国剩余定理。而要掌握的本质的东东是，线性叠加。
不要迷信中国剩余定理，他只是线性叠加方法在同余式的求解中应用的一种特例。
当然，中国剩余定理的思想也被拉格朗日插值法借了去，两者的线性叠加本质是一样的。
而我们前面解答此同余式组的方法，则相当于牛顿插值法。计算量相较之下略小。

二者各有所长，各有所用，比如拉格朗日插值法，可以直接开始，多方同步进行；牛顿插值，则是渐次进行，稳扎稳打。
但是本质要归宗于：线性叠加。
错的，不全面的答案，可以利用来得到正确的、完全的解。更是本质中的本质。

追问

有点晕 看的

Answer 2

被 37 除余 5 ，被 41 整除余11 的三位数只有 708

Answer 3

找张草稿纸，自已算去