Question

如图，抛物线y=-x^2+2x+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D

Answer 1

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：3k+b=0b=3
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴F（m，-m2+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=0.5PF�6�1BM+0.5PF�6�1OM=0.5PF�6�1（BM+OM）=0.5PF�6�1OB．
∴S=0.5×3（-m2+3m）=-1.5m2+4.5m（0≤m≤3）．

Answer 2

1）解方程-x²+2x+3=0，
(x-3)(x+1)=0,
x1=-1,x2=3
所以A(-1,0),B(3,0)
当x=0时，y=3
所以C(0,3)
又y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
所以D(1,4)
设过A,C的直线为y=kx+b，则
-k+b=0，
b=3
解得k=3
所以直线AC为：y=3x+3
2)存在，P(1,0)
抛物线的对称轴为x=1,C关于x=1的对称点为Q（2.3）
又PQ∥AC
设直线PQ=3x+b,
将（2，3）代人，得，
b=-3
所以直线L：y=3x-3
所以P(1,0)
3)B关于AC的对称点B'(-21/5,12/5),连B'D,交AC于点M
设直线B'D为y=kx+b,则
(-21/5)k+b=12/5
k+b=4
解得k=4/13,b=48/13
所以y=(4/13)x+48/13
解方程组，
y=3x+3
y=(4/13)x+48/13
得x=9/35
y=132/35
所以M(9/35,132/35)
此时△BDM的周长最小