Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=2/3，sinB=（根号5)cosC

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知cosA=2/3，sinB=（根号5）cosC.(1)求tanC的值 (2)若a=根号2，求△ABC的面积

Answer 1

⑴∵cosA=2/3，∴sinA=√5/3
又sinB=sin(180 º-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=√5/3cosC+2/3sinC=√5cosC
∴2/3sinC=2√5/3cosC
∴tanC=sinC/cosC=√5.

⑵过B作BD⊥AC于D，∵∠A,∠C均为锐角，∴BD在三角形内部。
∵tanC=BD/DC=√5，∴BD=√5DC. 由勾股定理有DC²+BD²=BC²
∴DC²+(√5DC)²=(√2)²,得DC=√3/3，∴BD=√15/3。
则sinC=BD/BC=√15/3√2
又BD/AD=tanA=sinA/cosA=√5/3
∴AD=BD/tanA=2√3/3,则AC=AD+DC=2√3/3+√3/3=√3
∴SΔ= ½·BC·AC·sinC= ½×√2×√3×√15/3√2=√5/2。

Answer 2

(1) ∵cosA=2/3,∴sinA=√(1-cos�0�5A)=√5/3
∵sinB=√5cosC
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC+cosAsinC=√5cosC
∴√5/3cosC+2/3sinC=√5cosC
∴ sinC=√5cosC ,∴tanC=√5
(2)若a=√2，∵ sinA=√5/3
∴2R=a/sinA=√2/(√5/3)=3√10/5
∵ sinC=√5cosC, sin�0�5C+cos�0�5C=1
∴cos�0�5C=1/6, sin�0�5C=5/6,
sinC=√30/6,cosC=√6/6
∴sinB=√5cosC=√30/6
∴b=c=2RsinB=3√10/5*√30/6=√3
∴三角形ABC的面积
S=1/2*bcsinA=1/2*3*√5/3=√5/2

Answer 3

(1) 同推荐答案

（2）由（1）可知 sinC=√5cosC
又已知 sinB=√5cosC
∴ sinC= sinB
由正弦定理易知 b=c ①
又∵cosA=2/3 a=√2 ②
由余弦定理可得
（b�0�5+c�0�5-a�0�5）/2bc=2/3 ③
由①②③解得 b�0�5=3
∴三角形ABC的面积
S=1/2*bcsinA=1/2*b�0�5*√5/3=√5/2

Answer 4

如图