Question

高等数学 判断函数在原点处是否连续。

是否一定要证明函数在原点存在极限？但下面
两题一道没证明，一道证明了。为什么呢？

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Answer 1

在讨论二元函数在某一点处的极限是否存在时，自变量的趋向路径有无穷多种，首先找出几条特殊路径，看极限是否存在且相等，若极限不相等，则函数在该点极限不存在，比如第二题。如果找出几条特殊路径上的极限相等，那么极限就有可能存在，所以就要证明了（这里没有一元函数极限中的那种“左右极限存在且相等，则函数极限存在”的结论，只能去证明。），第一题即为此种做法。

追问

那为什么第一题直接求出来了呢？他不用首先找出几条特殊路径，看极限是否存在且相等吗？

Answer 2

都求极限了呀，一个极限存在且等于该点函数值，所以连续；一个极限不存在所以不连续，有什么问题吗？

追问

我不明白的是：为什么（1）不像（3）那样从不同的途径趋向原点呢？

追答

3那个方法只能用来证明极限不存在，不能用来证明极限存在。极限存在要求(x,y)沿任意曲线趋于原点的极限都相等，而3那种方法只验证了沿直线y=kx的情况，这是不够的，例如沿抛物线y=x^2趋于原点的极限是不是相等就不知道，证明极限存在要用极限定义去证。

追问

如果3不证明在原点存在极限。能直接求得出来的吗？

追答

不太明白你的意思，3是证的极限不存在呀，你是说极限存在时用设y=kx的方法去求极限吗？如果那样，虽然结果正确，但解答题不能那样做，没有理论依据，用来做选择填空倒是可以，但前提是先验证极限存在。

追问

我的疑惑就是这个

追答

因为第1题是按照极限定义证明的，它用来证极限存在，如果你取几条途径去验证，会发现极限相等，但这不能证明极限存在。第2题是在证明极限不存在，如果用定义，什么结果也得不出来。