Question

利用微积分求lg2.7的近似值

Answer 1

求近似值是一般是用泰勒级数，下面是f(x)在x=x0处的展开，不是全部的。
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x0)*(x-x0)+(1/2)*(f''(x0)(f))(x0)*(x-x0)^2+(1/6)*(f(3)(x0)(f))(x0)*(x-x0)^3+(1/24)*
(f(4)(x0)*(x-x0)^4+(1/120)*(f(5)(x0)*(x-x0)^5+O((x-x0)^6)然后就行了。
本题目取函数ln(x+1),有x=1.7,ln(1+x)≈x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+(1/5)*x^5
带入求值，所求和的项越多越准确，粗略的只1~2项
ln(2.7)≈2.644355667，又ln(2.7)=0.9932517730，相差太远，故项数太少了。

由上面可以知道，取了五项还是不够准确，这是因为级数收敛太慢导致的。加了一项，又减了一项差不多的，我记得一万项都还是不够精确的。
可以取ln((1+x)/(1-x))≈2*x+(2/3)*x^3+(2/5)*x^5，其实是ln(1+x)中将x换成-x然后作差得到的函数。全是加项，收敛的很快。
x=17/37时，有ln(2.7)=0.9917713253仅仅三项就靠近了。

对不起，前面答的是ln(2.7),
同理近似求出x=9/11,ln(10)≈2.302585093,越是值越大，越是不够精确。
lg(2.7)=ln(2.7)/ln(10)≈0.4307208139

Answer 2

lg(2.7) ＾ 2=lg7.29
→ lg2.7= (1/2)*lg7.29 ≈ (1/2)*(lg10+( 【 -2.71/(10ln10) 】 =(1-2.71/2.3)/2 ≈ 0.44…