Question

已知函数f(x)=e^x+ax^2-ex, 试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P

,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P

Answer 1

：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax-e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex-ex，f′（x）=ex-e
令f′（x）=ex-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x-x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）-f′（x0）（x-x0）-（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=ex-ex0+2a(x-x0)
（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；
（2）若a＜0，令h（x）=ex-ex0+2a(x-x0)，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，则x=ln（-2a），∴x∈（-∞，ln（-2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x0=ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x0；
②若x0＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（-2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞
g（x0）=0
任取x1∈（ln（-2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（-∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=-e+f′（x0）．c=ex1-f(x0)+x0f′(x0)
∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得ax22+bx2+c＜0
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x0＜ln（-2a），同理利用ex＞x36，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（-2a），f（ln（-2a）））．